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ACM-SG函数之Fibonacci again and again——hdu1848

发布时间:2019-01-26 编辑:AG88

Fibonacci again and again Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 4248 Accepted Submission(s): 1768

Problem Description 任何一个大学生对菲波那契数列(Fibonacci numbers)应该都不会陌生,它是这样定义的:
F(1)=1;
F(2)=2;
F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3);
所以,1,2,3,5,8,13……就是菲波那契数列。
在HDOJ上有不少相关的题目,比如1005 Fibonacci again就是曾经的浙江省赛题。
今天,又一个关于Fibonacci的题目出现了,它是一个小游戏,定义如下:
1、 这是一个二人游戏;
2、 一共有3堆石子,数量分别是m, n, p个;
3、 两人轮流走;
4、 每走一步可以选择任意一堆石子,然后取走f个;
5、 f只能是菲波那契数列中的元素(即每次只能取1,2,3,5,8…等数量);
6、 最先取光所有石子的人为胜者;

假设双方都使用最优策略,请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。
Input 输入数据包含多个测试用例,每个测试用例占一行,包含3个整数m,n,p(1<=m,n,p<=1000)。
m=n=p=0则表示输入结束。
Output 如果先手的人能赢,请输出“Fibo”,否则请输出“Nacci”,每个实例的输出占一行。
Sample Input

1 1 1
1 4 1
0 0 0
Sample Output
Fibo
Nacci
Author lcy Source ACM Short Term Exam_2007/12/13 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848
用SG函数做的第一道题。 对于SG函数,还是有些不太懂, 但是,我看下面说的,就有些明白了:

首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。

例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。


对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]


例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?

sg[0]=0,f[]={1,3,4},


x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;

x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0;

x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;

x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3;

以此类推.....

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....

sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1...


计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数,f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步,SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数,用GetSG()计算


上述是自jumping_frog博文的建立SG模板时的解释,稍后我也会做个SG函数的模板。


这道题,有了上述方法,就简单了。 首先建立f数组,就是Fibonacci数列。 然后预处理求1000以内的SG数组,通过模板:
// 获得SG数组函数模板,t代表f数组的个数,n代表要求的sg数组上限
// f数组就是能取的个数(对于此题就是Fibonacci数列
// 有时,对于t已知就不需要单独传参
void get_sg(int t,int n)
{
    int i,j;
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(mex,0,sizeof(mex));
        // 对于属于g(x)后继的数置1
        for( j=1 ;j<=t && fib[j]<=i ;j++ )
            mex[sg[i-fib[j]]]=1;
        // 找到最小不属于该集合的数
        for( j=0 ; j<=n ; j++ )
            if(!mex[j])
                break;
        sg[i] = j;
    }
}


SG的题,很多都可以看成是多个Nim博弈。 然后就可以分析奇异态,非奇异态来确定答案了。 关于,Nim博弈可见博客:http://blog.csdn.net/lttree/article/details/24874819
然后就是此题完整代码:
/************************************************
*************************************************
*        Author:Tree                            *
*From :http://blog.csdn.net/lttree              *
* Title : Fibonacci again and again             *
*Source: hdu 1848                               *
* Hint  : SG                                    *
*************************************************
*************************************************/
#include 
#include 
int fib[21];    //fib保存Fibonacci数列
int sg[1001];//sg[]来保存SG值
bool mex[1001];//mex{}
// 构建SG数组,函数各步骤意义详见上面模板
void get_sg(int n)
{
    int i,j;
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(mex,0,sizeof(mex));
        for( j=1 ;fib[j]<=i ;j++ )
            mex[sg[i-fib[j]]]=1;

        for( j=0 ; j<=n ; j++ )
            if(!mex[j])
                break;
        sg[i] = j;
    }
}
int main()
{
    int i,m,n,p;
    // 构建Fibonacci数列
    fib[0]=1,fib[1]=1;
    for(i=2;i<21;++i)   fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    // 预处理获得sg数组
    get_sg(1000);
    while( scanf("%d%d%d",&m,&n,&p) && m+n+p )
    {
        if( (sg[m]^sg[n]^sg[p])==0 )  printf("Nacci
");
        else    printf("Fibo
");
    }
    return 0;
}


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